ENSCK 2023 Mathématiques

Question 1 :

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique définie par: $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{\sqrt{1 + u_n^2}}$. On pose $v_n = \frac{u_n^2}{3 - u_n^2}$. Alors $(v_n)$ est une suite géométrique de raison:

A) $\frac{1}{4}$

B) $\frac{1}{2}$

C) 2

D) 4

Question 2 :

$\lim_{n \to +\infty} u_n =$

A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B) $\sqrt{3}$

C) 2

D) $+\infty$

Question 3 :

On considère la suite numérique $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par: $w_0 = \frac{1}{2}$ et $w_{n+1} = \frac{w_n}{3 - 2w_n}$. Alors $\forall n \in \mathbb{N}$

A) $\frac{1}{2} \leq w_n < (\frac{3}{2})^{n+1}$

B) $0 < w_n < (\frac{3}{2})^n$

C) $0 < w_n < (\frac{1}{2})^n$

D) $(\frac{1}{4})^n < w_n < (\frac{1}{2})^n$

Question 4 :

On considère l'intégrale $I = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} d\theta$. Alors $I =$

A) $\frac{\ln(3)}{2}$

B) $1 - \frac{\pi}{4}$

C) $\frac{\ln(2)}{2}$

D) $\frac{\pi}{4}$

Question 5 :

On considère l'équation suivante: $z^2 - 6z + 13 = 0$ de racines $z_1$ et $z_2$. $z_1$ et $z_2$ sont:

A) $2 + 3i$ et $3 - 2i$

B) $2 - 3i$ et $2 + 3i$

C) $2 - 3i$ et $3 + 2i$

D) $3 + 2i$ et $3 - 2i$

Question 6 :

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points A et B d'affaires respectives $z_1$ et $z_2$. Le triangle OAB est un triangle:

A) équilateral

B) isocèle

C) rectangle

D) rectangle isocèle

Question 7 :

$z_1$ et $z_2$ vérifient:

A) $z_1 + z_2 = 3$

B) $z_1 = \bar{z}_2$

C) $z_1 \times z_2 = 16$

D) $\frac{z_1}{z_2} = i$

Question 8 :

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{e^{2x} - 2e^x - 3}$. $Df =$

A) $\mathbb{R}^{-}$

B) $\mathbb{R} \setminus \{\ln(3)\}$

C) $[\ln(3), +\infty[$

D) $]-\infty, \ln(3)]$

Question 9 :

La fonction $f$ est dérivable sur:

A) $\mathbb{R}^{*}$

B) $]-\infty, \ln(3)[$

C) $]\ln(3), +\infty[$

D) $\mathbb{R}^{*} \setminus \{\ln(3)\}$

Question 10 :

$f$ vérifie l'équation différentielle:

A) $f(x)(f'(x) - f(x)) = e^x$

B) $f(x)(f'(x) + f(x)) = e^x - 3$

C) $f(x)(f'(x) + f(x)) = 3$

D) $f(x)(f'(x) - f(x)) = e^x + 3$

Question 11 :

Quel est le coefficient de $\frac{1}{x^2}$ dans le développement de $(x + \frac{1}{x})^n$ quand le coefficient du troisième terme est le même que celui du septième terme dans la formule du binôme de Newton?

A) 28

B) 56

C) 128

D) 356

Question 12 :

Soient $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite arithmétique et $S_n$ la somme des $n$ premiers termes de $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$. On pose $a_2 = 5$ et $S_3 = 15$. $\frac{1}{k(k+n)} =$

A) $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

B) $\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k}$

C) $\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}$

D) $\frac{k+1}{k} - \frac{k}{k+1}$

Question 13 :

La somme des 100 premiers termes de la suite $\left( \frac{1}{a_n a_{n+1}} \right)n$ est égale à

A) $\frac{99}{101}$

B) $\frac{100}{101}$

C) $\frac{99}{100}$

D) $\frac{101}{100}$

Question 14 :

Dans une ville, il y a quatre boulangeries qui ferment un jour par semaine. Quel est le nombre de façons d'attribuer un jour de fermeture hebdomadaire?

A) $C_7^4$

B) $A_7^4$

C) $4^7$

D) $7^4$

Question 15 :

Quelle est La valeur de la limite suivante: $\lim_{t \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{t^{2023}} \right)^{t^{2024}} ?$

A) 1

B) $e$

C) $\frac{1}{e}$

D) +∞

Concours d'accès en 1ère année de ENSCK